Ruotsalaislehti Expressen kertoo Sveitsiin tähyilleen Borgströmin siirtyvän HV71:n riveihin.Ruotsalaislehti Expressenin mukaan suomalaishyökkääjä 25-vuotias Henrik Borgström on palaamassa Eurooppaan kiekkoilemaan ensi kaudeksi, mutta ei kuitenkaan hänen suuntana ole Suomi. Expressenin lähteet kertovat Borgströmin pelaavan ensi kaudella SHL:ssä pelaavan HV71:n riveissä. Lehden tietojen mukaan Borgströmille kaavaillaan HV71-joukkueen ykkössentterin viittaa.

Borgström siirtyi kaudella 2016-2017 kiekkoilemaan Denverin yliopistoon ja NHL-debyyttinsä jo seuraavalla kaudella Florida Panthersin riveissä. Sillä kaudella hän pääsi pelaamaan NHL:ssä neljä ottelua teki myös yhden maalin. Kaikkiaan Borgström pelasi Floridassa kolmen kauden ajan yhteensä 58 ottelua tehoin 9+10=19 ja hänen paras pistekausi osui kaudelle 2018-2019, jolloin hän teki 50 ottelussa tehot 8+10=18.

Kaudella 2020-2021 hän palasi Suomeen pelaamaan Liigaa HIFK:n riveissä, jonka jälkeen hän palasi takaisin Pohjois-Amerikkaan. Kausi 2021-2022 meni Chicago Blackhawksissa, jossa hän pelasi NHL:ssä 52 ottelua tehoi 4+3=7. Tällä kaudella hän pelasi Washington Capitalsin organisaatiossa, mutta pelasi pääsääntöisesti AHL:ssä Hershey Bears riveissä 55 ottelua tehoin 8+13=21.